برای صحت، این بخش باید با عنوان «معادلات تک بعدی حرکت برای شتاب ثابت» باشد. با توجه به اینکه چنین عنوانی یک کابوس سبک است، اجازه دهید این بخش را با شرایط زیر آغاز کنم. این معادلات حرکت تنها زمانی معتبر هستند که شتاب ثابت باشد و حرکت به یک خط مستقیم محدود شود.
با توجه به اینکه ما در یک جهان سه بعدی زندگی می کنیم که تنها ثابت آن تغییر است، ممکن است وسوسه شوید که این بخش را کاملاً رد کنید. درست است که بگوییم هیچ جسمی در هیچ نقطه ای از جهان و در هیچ زمانی در یک خط مستقیم با شتاب ثابت حرکت نکرده است - نه امروز، نه دیروز، نه فردا، نه پنج میلیارد سال پیش، نه سی میلیارد سال در آینده.، هرگز. این را می توانم با قطعیت متافیزیکی مطلق بگویم.
پس این بخش چه فایده ای دارد؟خوب، در بسیاری از موارد، مفید است که فرض کنیم یک جسم در مسیری حرکت کرده یا خواهد رفت که اساساً مستقیم و با شتابی تقریباً ثابت است. یعنی می توان اساساً هرگونه انحراف از حرکت ایده آل را نادیده گرفت. حرکت در امتداد یک مسیر منحنی ممکن است به طور موثر یک بعدی در نظر گرفته شود اگر فقط یکی برای اجسام درگیر وجود داشته باشد. یک جاده ممکن است بپیچد و بپیچد و همه جهات را کاوش کند، اما اتومبیل هایی که در آن رانندگی می کنند تنها یک درجه آزادی دارند - آزادی رانندگی در یک جهت یا جهت مخالف.(شما نمی توانید در یک جاده به صورت مورب رانندگی کنید و امیدوار باشید که برای مدت طولانی در آن بمانید.) از این نظر، بی شباهت به حرکت محدود به یک خط مستقیم نیست. تقریب موقعیت های واقعی با مدل های مبتنی بر موقعیت های ایده آل، تقلب محسوب نمی شود. این روشی است که کارها در فیزیک انجام می شود. این یک تکنیک مفید است که ما بارها و بارها از آن استفاده خواهیم کرد.
پس هدف ما در این بخش، استخراج معادلات جدیدی است که بتوان از آن برای توصیف حرکت یک جسم بر حسب سه متغیر سینماتیکی آن استفاده کرد: سرعت (v)، موقعیت (s) و زمان (t). سه راه برای جفت کردن آنها وجود دارد: سرعت-زمان، موقعیت-زمان و سرعت-موقعیت. به این ترتیب اغلب معادلات اول، دوم و سوم حرکت نیز نامیده می شوند، اما دلیل قانع کننده ای برای یادگیری این نام ها وجود ندارد.
از آنجا که ما در یک خط مستقیم با حرکت روبرو هستیم ، جهت با علامت نشان داده می شود - مقادیر مثبت به یک روش اشاره می کنند ، در حالی که مقادیر منفی به روش مخالف اشاره می کنند. تعیین اینکه کدام جهت مثبت است و کدام یک منفی است کاملاً دلخواه است. قوانین فیزیک عبارتند از:یعنی آنها مستقل از جهت گیری سیستم مختصات هستند. برخی از مشکلات درک و حل آن آسان تر است ، با این حال ، هنگامی که یک جهت نسبت به دیگری مثبت انتخاب می شود. تا زمانی که شما در یک مشکل سازگار باشید ، مهم نیست.
سرعت
رابطه بین سرعت و زمان یک حرکت ساده در حین حرکت یکنواخت شتاب و مستقیم است. هرچه شتاب طولانی تر باشد ، تغییر سرعت بیشتر می شود. تغییر سرعت به طور مستقیم متناسب با زمان ثابت است. اگر سرعت در یک زمان معین با مقدار مشخصی افزایش یابد ، باید دو برابر این مقدار در دو برابر زمان افزایش یابد. اگر یک شی از قبل با سرعت خاصی شروع شود ، سرعت جدید آن سرعت قدیمی به علاوه این تغییر خواهد بود. شما باید بتوانید معادله را در چشم ذهن خود ببینید.
این ساده ترین سه معادله است که می توان با استفاده از جبر به دست آورد. از تعریف شتاب شروع کنید.
| a = | ∆ v |
| t |
گسترش ∆ V به V - V0و چگال ∆ t به t.
| a = | v - v0 |
| حرف |
سپس برای V به عنوان تابعی از t حل کنید.
v = v0+ در [1]
این است . این مانند چند جمله ای نوشته شده است - یک اصطلاح ثابت (v0) به دنبال یک دوره مرتبه اول (AT). از آنجا که بالاترین مرتبه 1 است ، صحیح تر است که آن را یک تابع بنامیم.
نماد V0[Vee nuth] به سرعت یا سرعت T = 0 گفته می شود. اغلب به عنوان "سرعت اول" تصور می شود اما این یک روش نسبتاً ساده لوحانه برای توصیف آن است. تعریف بهتر این است که بگوییم سرعت اولیه سرعت است که یک شیء متحرک هنگام اولین بار در یک مشکل مهم می شود. بگویید یک شهاب سنگ در اعماق فضا مشاهده شد و مشکل تعیین مسیر آن بود ، بنابراین سرعت اولیه احتمالاً سرعت آن هنگام اولین بار مشاهده می شود. اما اگر این مشکل در مورد همین شهاب سنگ در حال سوختن مجدد بود ، سرعت اولیه احتمالاً سرعت آن هنگام ورود به جو زمین بود. پاسخ به "سرعت اولیه چیست؟"آیا "بستگی دارد"این به نظر می رسد که پاسخ بسیاری از سوالات است.
نماد v سرعت زمانی t بعد از سرعت اولیه است. اغلب به آن "آخرین سرعت" جسم می گویند، اما این باعث نمی شود که آن "آخرین سرعت" جسم باشد. مورد شهاب را در نظر بگیرید. چه سرعتی با نماد v نشان داده می شود؟اگر دقت کرده اید، پس باید جواب را پیش بینی می کردید. بستگی دارد. این می تواند سرعتی باشد که شهاب سنگ هنگام عبور از کنار ماه، هنگام ورود به جو زمین یا هنگام برخورد با سطح زمین دارد. همچنین می‌تواند سرعت شهاب‌سنگ به هنگام نشستن در کف دهانه باشد.(در آن صورت v = 0 m/s .) آیا هر یک از اینها سرعت نهایی است؟چه کسی می داند. کسی می تواند شهاب سنگ را از سوراخش در زمین بیرون بیاورد و با آن دور کند. آیا این مربوط است؟احتمالا نه، اما بستگی دارد. هیچ قانونی برای این نوع چیزها وجود ندارد. شما باید متن یک مسئله را برای مقادیر فیزیکی تجزیه کنید و سپس به نمادهای ریاضی معنی بدهید.
آخرین بخش این معادله در تغییر سرعت از مقدار اولیه است. به یاد بیاورید که a نرخ تغییر سرعت است و t زمان پس از یک رویداد اولیه است. زمان نرخ گذاری زمان تغییر می کند. با توجه به یک جسم با سرعت 10 متر بر ثانیه 2، پس از 5 ثانیه 50 متر بر ثانیه سریعتر حرکت می کند. اگر با سرعت 15 متر بر ثانیه شروع شود، سرعت آن بعد از 5 ثانیه خواهد بود…
15 متر بر ثانیه + 50 متر بر ثانیه = 65 متر بر ثانیه
موقعیت-زمان
جابجایی یک جسم متحرک با سرعت و زمان رابطه مستقیم دارد. سریعتر حرکت کن. دورتر بروبیشتر حرکت کنید (مانند زمان طولانی تر). دورتر بروشتاب این وضعیت ساده را ترکیب می‌کند، زیرا اکنون سرعت نیز با زمان نسبت مستقیم دارد. سعی کنید این را با کلمات بگویید و مسخره به نظر می رسد. جابجایی نسبت مستقیم با زمان و نسبت مستقیم با سرعت دارد که با زمان نسبت مستقیم دارد. زمان دو بار عاملی است که جابجایی را متناسب با مجذور زمان می کند. خودرویی که دو ثانیه شتاب می گیرد، چهار برابر مسافت خودرویی که تنها یک ثانیه شتاب می گیرد، طی می کند (2 2 = 4). خودرویی که سه ثانیه شتاب می‌گیرد، 9 برابر مسافت را طی می‌کند (3 2 = 9).
آیا این خیلی ساده بوداین مثال فقط زمانی کار می کند که سرعت اولیه صفر باشد. جابجایی متناسب با مربع زمان است که شتاب ثابت باشد و سرعت اولیه صفر باشد. یک بیانیه کلی واقعی باید هرگونه سرعت اولیه و نحوه تغییر سرعت را در نظر بگیرد. این منجر به یک بیانیه متناسب بسیار کثیف می شود. جابجایی به طور مستقیم متناسب با زمان و متناسب با مربع زمان است که شتاب ثابت است. تابعی که هم خطی و هم مربع گفته می شود ، که به ما امکان می دهد بیانیه قبلی را به طور قابل توجهی جمع کنیم. جابجایی یک عملکرد درجه دوم از زمان ثابت است که شتاب ثابت است
اظهارات تناسب مفید است ، اما به اندازه معادلات کلی نیست. ما هنوز نمی دانیم ثابت تناسب برای این مشکل چیست. یکی از راه های کشف آنها استفاده از جبر است.
با تعریف سرعت متوسط شروع کنید.
| v = | ∆ s |
| t |
گسترش ∆ S به S - S0و چگال ∆ t به t.
| v = | s - s0 |
| حرف |
برای موقعیت حل کنید.
s = s0+ v t [a]
برای ادامه ، ما باید به یک ترفند کوچک معروف به یا. من دومی را ترجیح می دهم زیرا این قانون می تواند برای هر مقدار که با سرعت یکنواخت تغییر می کند اعمال شود - نه فقط سرعت. قاعده مرتون برای اولین بار در سال 1335 در کالج مرتون ، آکسفورد توسط فیلسوف انگلیسی ، ریاضیدان ، کارگر ، و ماشین حساب ویلیام هیتسبوری (1313-1313) منتشر شد. هنگامی که نرخ تغییر یک مقدار ثابت است ، مقدار متوسط آن بین مقادیر نهایی و اولیه آن است.
V = ½ (V + V0) [4]
معادله اول حرکت [1] را در این معادله [4] جایگزین کنید و با هدف از بین بردن v.
V = ½ (2 V0+ در)
اکنون [b] را در [a] جایگزین کنید تا v [vee bar] را از بین ببرد.
s = s0+ (v0+ ½ at) t
و در آخر ، S را به عنوان تابعی از t حل کنید.
s = s0+ v0t + ½ در 2 [2]
این است . این مانند چند جمله ای نوشته شده است - یک اصطلاح ثابت (s0) ، به دنبال یک دوره مرتبه اول (v0t) ، به دنبال یک دوره مرتبه دوم (½ در 2). از آنجا که بالاترین سفارش 2 است ، صحیح تر است که آن را یک بنامیم.
نماد s0[ESS NAUGHT] اغلب به عنوان این تصور می شود. نماد S بعداً موقعیتی است. در صورت تمایل می توانید آن را صدا کنید. تغییر موقعیت (∆ S) به آن (بسته به شرایط) گفته می شود و برخی از افراد ترجیح می دهند معادله دوم حرکت را مانند این بنویسند.
∆ s = v0t + ½ در 2 [2]
موقعیت یابی
دو معادله اول حرکت هر یک یک متغیر سینماتیک را به عنوان تابعی از زمان توصیف می کنند. در اصل
- سرعت به طور مستقیم متناسب با زمان ثابت است (V ∝ T).
- جابجایی متناسب با زمان مربع است که شتاب ثابت است (∆ S ∝ T 2).
ترکیب این دو جمله به یک سوم می رسد - جمله ای که مستقل از زمان است. با تعویض ، باید آشکار باشد که ...
- جابجایی متناسب با سرعت مربع در هنگام ثابت بودن شتاب است (∆ S ∝ V 2).
این بیانیه به ویژه برای ایمنی رانندگی مرتبط است. هنگامی که سرعت یک ماشین را دو برابر می کنید ، چهار بار فاصله بیشتر طول می کشد تا آن را متوقف کنید. سرعت را سه برابر کنید و به فاصله نه برابر بیشتر نیاز دارید. این یک قانون خوب برای به یاد آوردن است.
مقدمه مفهومی انجام می شود. زمان برای استخراج معادله رسمی.
روش 1
دو معادله اول را با هم ترکیب کنید به روشی که زمان را به عنوان یک متغیر از بین می برد. ساده ترین راه برای انجام این کار با اولین معادله حرکت است ...
v = v0+ در [1]
آن را برای زمان حل کنید
| t = | v - v0 |
| آ |
و سپس آن را در معادله دوم حرکت جایگزین کنید ...
s = s0+ v0t + ½ در 2 [2]
| s = | حرف0+ v0 | ⎛ ⎜ ⎝ | v - v0 | ⎞ ⎟ ⎠ | + ½ a | ⎛ ⎜ ⎝ | v - v0 | ⎞ 2 ⎟ ⎠ |
| آ | آ |
| s - s0 = | VV0- v0 2 | + | V 2 - 2 VV0+ v0 2 |
| آ | 2 الف |
| 2 a (s - s0) = 2 (vv0- v02) + (v 2 - 2 vv0+ v02) |
| 2 a (s - s0) = v 2 - v0 2 |
سرعت را به صورت مربع ایجاد کنید و ما تمام شدیم.
v 2 = v02 + 2 a (s - s0) [3]
این است . یک بار دیگر ، نماد s0[ESS NAUGHT] و بعداً موقعیتی است. اگر ترجیح می دهید ، ممکن است معادله را با استفاده از ∆ s - ، یا ، یا به عنوان وضعیت شایستگی بنویسید.
v 2 = v02 + 2 a ∆ s [3]
روش 2
راه سخت تر برای استخراج این معادله ، شروع با معادله دوم حرکت به این شکل است ...
∆ s = v0t + ½ در 2 [2]
و آن را برای زمان حل کنید. این کار آسانی نیست زیرا معادله درجه دوم است. تنظیم مجدد اصطلاحات مانند این
½ در 2 + V0t - ∆ s = 0
و آن را با فرم کلی برای یک درجه دوم مقایسه کنید.
AX 2 + BX + C = 0
راه حل های این کار توسط معادله معروف ارائه شده است ...
| x = | - b ± √ (b 2 - 4 ac) |
| 2 الف |
نمادها را در معادله کلی با نمادهای معادل از معادله دوم تنظیم شده ما جایگزین کنید ...
| t = | - v0± √ [v02 - 4 (½ a) ( - ∆ s)] |
| 2 (½ a) |
کمی آن را تمیز کنید
| t = | - v0± √ (v02 + 2 a ∆ s) |
| آ |
و سپس آن را دوباره به اولین معادله حرکت جایگزین کنید.
v = v0+ در [1]
| v = v0+ الف | ⎛ ⎜ ⎝ | - v0± √ (v02 + 2 a ∆ s) | ⎞ ⎟ ⎠ |
| آ |
موارد لغو می شود و ما این را دریافت می کنیم ...
V = ± √ (v02 + 2 a ∆ s)
هر دو طرف مربع و ما تمام شده ایم.
v 2 = v02 + 2 a ∆ s [3]
الان خیلی بد نبود؟
مشتق حساب
حساب یک موضوع ریاضی پیشرفته است ، اما این باعث می شود که دو مورد از سه معادله حرکت بسیار ساده تر باشد. با تعریف ، شتاب اولین مشتق سرعت با توجه به زمان است. عمل را در آن تعریف انجام دهید و آن را معکوس کنید. به جای تمایز سرعت برای یافتن شتاب ، شتاب را برای یافتن سرعت ادغام کنید. این معادله زمان سرعت را به ما می دهد. اگر فرض کنیم شتاب ثابت است ، به اصطلاح [1] می گیریم.
مجدداً با تعریف ، سرعت اولین مشتق موقعیت با توجه به زمان است. این عمل را معکوس کنید. به جای تمایز موقعیت برای یافتن سرعت ، سرعت را برای یافتن موقعیت ادغام کنید. این به ما معادله موقعیت مکانی را برای شتاب مداوم می دهد ، همچنین به عنوان [2] شناخته می شود.
بر خلاف معادلات اول و دوم حرکت ، هیچ روش واضحی برای استخراج (روشی که سرعت را به موقعیت مربوط می کند) با استفاده از حساب وجود ندارد. ما فقط نمی توانیم آن را از یک تعریف مهندسی کنیم. ما باید یک ترفند نسبتاً پیشرفته بازی کنیم.
اولین معادله حرکت ، سرعت را به زمان مربوط می کند. ما اساساً آن را از این مشتق گرفته ایم ...
| DV | = الف |
| DT |
معادله دوم حرکت موقعیت را به زمان مربوط می کند. از این مشتق ناشی شد ...
| DS | = v |
| DT |
معادله سوم حرکت ، سرعت را به موقعیت مربوط می کند. با تمدید منطقی ، باید از مشتق حاصل شود که به نظر می رسد ...
| DV | = ? |
| DS |
اما این چه برابر است؟خوب هیچ چیز با تعریف ، اما مانند همه مقادیر ، خودش برابر است. همچنین برابر با خود برابر است با 1. ما از نسخه ویژه 1 استفاده خواهیم کرد (DTDT) و نسخه ویژه جبر (جبر با بی نهایت). ببین وقتی این کار را می کنیم چه اتفاقی می افتد. ما یک مشتق برابر با شتاب (DVDT) و یک مشتق دیگر برابر با معکوس سرعت (dtDS ).
| DV | = | DV | 1 |
| DS | DS | ||
| DV | = | DV | DT |
| DS | DS | DT | |
| DV | = | DV | DT |
| DS | DT | DS | |
| DV | = | آ | 1 |
| DS | حرفهای |
مرحله بعدی ، جداسازی متغیرها. مواردی را که در کنار هم هستند ، بدست آورید و آنها را ادغام کنید. این چیزی است که ما هنگام ثابت شدن شتاب می گیریم ...
مطمئناً یک راه حل هوشمندانه ، و این همه چیز دشوارتر از دو مشتق اول نبود. با این حال ، واقعاً فقط به دلیل شتاب ثابت بود - در زمان ثابت و در فضا ثابت بود. اگر شتاب به هر طریقی متفاوت باشد ، این روش ناراحت کننده خواهد بود. ما فقط برای صرفه جویی در عقل خود به استفاده از جبر باز می گردیم. نه این که مشکلی در این مورد وجود دارد. جبر کار می کند و عقل ارزش پس انداز دارد.
