مشتق ریاضی معادلات حرکت

هنگامی که بدن در امتداد یک خط مستقیم با شتاب یکنواخت حرکت می کند ، می توان رابطه ای بین سرعت بدن ، شتاب بدن و مسافت طی شده توسط بدن در یک زمان خاص توسط مجموعه ای از معادلات برقرار کرد. این معادلات معادلات حرکت نامیده می شوند.

سه معادله عبارتند از:

1. معادله اول حرکت: v = u + در
2. معادله دوم حرکت: S = UT + 1/2AT 2
3. معادله سوم حرکت: V 2 - U 2 = 2A

جایی که شما = سرعت اولیه بدن

V = سرعت نهایی بدن

a = شتاب یکنواخت بدن

S = مسافت طی شده

معادله اول حرکت

بدن را در نظر بگیرید که سرعت اولیه دارد. فرض کنید این یک شتاب یکنواخت "A" قرار دارد به طوری که پس از گذشت زمان "سرعت نهایی آن" V "می شود. حالا ما الان ،

شتاب = تغییر در سرعت/زمان

یا v = u + at یا v = at + u… .. (i)

این معادله به عنوان اولین معادله حرکت شناخته می شود.

دومین حرکت حرکت

فرض کنید یک بدن دارای سرعت اولیه "U" و شتاب یکنواخت "A" برای زمان ‘t" است تا سرعت نهایی آن "V" شود. مسافتی که توسط بدن در حال حرکت به زمان "T" طی می شود ، سرعت متوسط = (V + U)/2 است. مسافت طی شده = سرعت متوسط × زمان

این معادله دوم حرکت است.

معادله سوم حرکت

از معادله دوم حرکتی که داریم ،

S = UT + 1/2AT 2… (i)

از معادله اول حرکت ، ما داریم

قرار دادن این مقدار "t" در معادله ... (من)

یا V 2 = U 2 + 2A

یا V 2 - U 2 = 2A

این سومین معادله حرکت است

جایی که V = سرعت نهایی

U = سرعت اولیه

S = مسافت طی شده

مسافت در مرحله دوم نهم:

S = UT + 1/2 در 2 فاصله ای است که توسط یک بدن در t s پوشیده شده است.

واد(v)

[فاصله تحت پوشش بدن در امتداد یک خط مستقیم در N ثانیه.

واد(vi)

[فاصله تحت پوشش بدن در امتداد یک خط مستقیم در (n-1) ثانیه.]

فاصله تحت پوشش بدن در نهم دوم خواهد بود -

برای حل مشکلات عددی:

• اگر بدنه از ارتفاع کاهش یابد ، سرعت اولیه آن U = 0 اما دارای شتاب (عمل) است. اگر بدن از استراحت شروع شود ، سرعت اولیه خود u = 0 است.
• اگر بدن به استراحت برسد ، سرعت نهایی آن v = 0 یا اگر بدن پس از پرتاب به بالا به بالاترین سرعت برسد ، سرعت نهایی V = 0 را به خود اختصاص می دهد اما دارای شتاب (بازیگری) است.
• اگر بدن با سرعت یکنواخت حرکت کند ، شتاب آن صفر است یعنی A = 0.
• اگر تنها نیرویی که بر روی آن عمل می کند گرانش است (یعنی جذابیت زمین) ، حرکت بدن سقوط آزاد نامیده می شود.

حرکت تحت ثبات

• حرکت تحت گرانش به این معنی است که یک شیء در فضا تحت نیروی گرانش به تنهایی حرکت می کند.
• حرکت تحت گرانش یک حرکت یکنواخت شتاب است. بنابراین می توان از معادلات حرکت برای حرکت یکنواخت شتاب استفاده کرد که هستند

• در اینجا شتاب به دلیل گرانش شتاب خواهد بود.

در Si-Unit G = 9. 8 m/s 2

در C. G. S. واحد G = 980 سانتی متر در ثانیه 2

• هنگامی که یک جسم به سمت بالا یا رو به پایین پرتاب می شود ، در هر دو مورد شتاب یکسان "G" توسط شیء تجربه می شود ، که در جهت رو به پایین عمل می کند.
• در اینجا از مقاومت هوا غفلت می شود. در یک آزمایش واقعی مقاومت هوا را نمی توان مورد غفلت قرار داد. این یک مورد ایده آل است. چنین حرکتی به سقوط آزاد گفته می شود.

مورد 1:

هنگامی که یک شی در جهت به سمت بالا (مثبت) در فضا با سرعت اولیه V0 پرتاب می شود.

شتاب = -G (در جهت رو به پایین)

بنابراین ، معادله حرکت خواهد بود

مورد 2:

هنگامی که یک جسم در یک جهت رو به پایین (مثبت) در فضا با سرعت اولیه V0 پرتاب می شود.

شتاب = +g (در جهت رو به پایین)

بنابراین ، معادله حرکت خواهد بود

مورد 3:

هنگامی که یک جسم در فضا به گونه ای پرتاب می شود که در ابتدا آن را بالا می برد و سپس پایین می آید.

برای حل چنین نوع مشکل ، از کنوانسیون علامت زیر استفاده می شود:-

مقادیر حرکتی در جهت رو به بالا مثبت گرفته می شود.

مقادیر حرکت ، که در جهت نزولی هستند ، منفی گرفته می شوند.

بگذارید سرعت اولیه V باشد₀که در جهت عمودی به سمت بالا است و سرانجام همانطور که در شکل نشان داده شده به زمین می رسد.

سرعت اولیه = +V₀(در جهت های رو به بالا)

جابجایی = –H (در جهت رو به پایین)

شتاب = -G (در جهت رو به پایین)

بنابراین با استفاده از معادله حرکت ، s = ما داریم

q1. یک ماشین با سرعت 50 کیلومتر در ساعت در حال حرکت است. دو ثانیه پس از آن با سرعت 60 کیلومتر در ساعت حرکت می کند. شتاب خودرو را محاسبه کنید.

جوابدر اینجا u = 50 کیلومتر در ساعت = 50 × 5/18 m/s = 250/18 m/s

و V = 60 کیلومتر در ساعت = 60 × 5/18 = 300/18 متر بر ثانیه

از وقتی که

Q2یک ماشین پس از شروع کار 54 کیلومتر در ساعت در 20 ثانیه به دست می آید. شتاب ماشین را پیدا کنید.

جوابU = 0 (با شروع ماشین از استراحت)

V = 54 کیلومتر در ساعت = 54 × 5/18 = 15 متر بر ثانیه

مانند،

س 3. یک توپ به صورت عمودی به سمت بالا با سرعت 20 متر بر ثانیه پرتاب می شود. توپ چقدر بلند شد؟(G = 9. 8 M/S2 را بگیرید.

جوابu = 20 m/s ، a = - g = - 9. 8 m/s2 (حرکت در برابر گرانش)

S =؟v = 0 (در بالاترین نقطه)

فاصله (جابجایی) از سرعت (سرعت) نمودار زمان:

فاصله (جابجایی = سرعت (سرعت) x زمان ، بنابراین می توان فاصله (جابجایی) را با سرعت (سرعت) محاسبه کرد (محاسبه).

مورد (i): هنگامی که سرعت (سرعت) یکنواخت (ثابت) است:

شکل نشان می دهد نمودار زمان - زمان یک ماشین با سرعت یکنواخت 50 کیلومتر در ساعت 1. این یک خط مستقیم به موازات x - محور (محور زمان) است. فاصله تحت پوشش این تاکسی از زمان T1 = 4H در P تا زمان T2 = 8 ساعت در S ، توسط فاصله = 50 × داده می شود (t₂ - t₁)

در شکل ، pq = 50 ، sp = (t₁ - t₁)

از این رو فاصله = PQ × SP = مساحت مستطیل PSRQ

مورد (ii): هنگامی که سرعت (سرعت) و همچنین شتاب غیر یکنواخت است (متغیر)

شکل نمودار سرعت یک بدن را با سرعت و شتاب متغیر نشان می دهد. در طی یک بازه کوچک ، سرعت می تواند ثابت باشد. برای این بازه زمانی کوچک ، فاصله ΔS = VΔT = مساحت نوار سیاه.

برای کل زمان بین t₁و t₂

فاصله = جمع مساحت تمام نوارها بین t₁و t₂= مساحت PQRS شکل سایه دار.

مشتق گرافیکی معادلات حرکت

برای استخراج V = u + AT با روش گرافیکی

بگذارید بدنه ای را با شتاب یکنواخت در نظر بگیریم "A" با سرعت اولیه "U" به سرعت نهایی V در زمان ‘t" که مسافت را پوشش می دهد ، همانطور که در نمودار نشان داده شده است ، در نظر می گیرد.

در نمودار زمان سرعت داده شده ،

سرعت اولیه ، U = OA ... (i)

سرعت نهایی ، v = bc… (ii)

از نمودار ، bc = bd + dc

⇒ v = bd + oa (dc = oa)

برای یافتن مقدار BD ،

شتاب ، A = شیب خط AB

⇒ a = bd/t (ad = oc = t)

قرار دادن bd = at در معادله (iii)

ما v = at + u را دریافت می کنیم

برای استخراج S = UT + 1/2AT 2 با روش گرافیکی

بگذارید بدنه ای را با شتاب یکنواخت در نظر بگیریم "A" با سرعت اولیه ‘U" به سرعت نهایی ‘V" در زمان ‘t" مسافت را که در نمودار 8. 1 (A) نشان داده شده است ، می کند.

سپس از نمودار:

مسافتی که توسط بدن = منطقه تحت نمودار زمان سرعت طی شده است

مسافت طی شده = مساحت شکل OABC = منطقه مستطیل OADC + منطقه مثلث ABD

⇒ S = (OA X OC) + (1/2 AD X BD)

⇒ s = u x t + 1/2t x bd… (i)

برای یافتن مقدار BD ،

شتاب ، A = شیب خط AB

⇒ a = bd/t (ad = oc = t)

قرار دادن bd = در معادله (i) ما دریافت می کنیم

برای استخراج V 2 - U 2 = 2A با روش گرافیکی

بگذارید یک بدن را با شتاب یکنواخت در نظر بگیریم "A" با سرعت اولیه "U" به سرعت نهایی "V" می رسد. در زمان ‘t 'مسافت را که در نمودار 8. 1 (a) نشان داده شده است ، پوشش می دهد.

سپس از نمودار:

مسافت طی شده ، 's' = منطقه تحت نمودار زمان سرعت

یعنی مسافت طی شده ، S = مساحت Trapezium OABC

مجموع طرفهای موازی x ارتفاع/2

برای از بین بردن "t" از معادله فوق

ما می دانیم ، v = u + در

با قرار دادن این مقدار در معادله (i) ،

ما دریافت می کنیم ، s = (u + v) (v-u)/2a

• شیب نمودار از راه دور/جابجایی زمان سرعت/سرعت می بخشد.
• شیب نمودار سرعت/سرعت-زمان شتاب می دهد.
• مساحت تحت نمودار سرعت/سرعت زمان ، فاصله/جابجایی را می دهد.
• منطقه تحت نمودار شتاب-زمان تغییر سرعت را ایجاد می کند.

حرکت دایره ای:

تعریف:

حرکت یک ذره (بدن کوچک) در امتداد یک دایره (مسیر دایره ای) ، یک حرکت دایره ای نامیده می شود. اگر بدن مسافت مساوی را در فاصله دور دایره در فواصل مساوی از زمان قرار دهد ، گفته می شود که حرکت یک حرکت دایره ای یکنواخت است.

یک حرکت دایره ای یکنواخت حرکتی است که در آن سرعت ثابت باقی می ماند اما جهت تغییر سرعت تغییر می کند.

توضیح:

پسری را در نظر بگیرید که در یک مسیر شش ضلعی معمولی (مسیر) که در شکل نشان داده شده است ، در حال اجرا است. در حالی که پسر در کنار شش ضلعی با سرعت یکنواخت حرکت می کند ، او باید در هر گوشه تغییر کند اما SPED را یکسان نگه دارد. در یک دور او مجبور است شش چرخش را در فواصل منظم انجام دهد.

اگر همان پسر در امتداد یک مسیر هشت ضلعی معمولی با سرعت یکنواخت اجرا شود ، او باید در فواصل منظم هشت چرخش را در یک دور طی کند اما فاصله آن کوچکتر می شود.

با افزایش تعداد طرفین چند ضلعی معمولی ، می بینیم که تعداد چرخش ها در هر دور بیشتر می شود و فاصله بین دو چرخش هنوز کوتاه تر می شود. یک دایره یک مورد محدود کننده چند ضلعی با تعداد بی نهایت طرف است. در مسیر دایره ای ، چرخش به یک فرآیند مداوم تبدیل می شود و هیچ شکافی بین آن وجود ندارد.

پسری که در دو طرف چنین آهنگ اجرا می شود ، حرکت دایره ای را انجام می دهد. از این رو ، حرکت دایره ای حرکت بدن در امتداد طرفین چند ضلعی از تعداد بی نهایت طرفین با سرعت یکنواخت است ، جهت به طور مداوم تغییر می کند.

نمونه حرکت دایره ای یکنواخت عبارتند از:

• حرکت ماه در اطراف زمین.
• حرکت ماهواره در اطراف سیاره آن.

طبیعت بخشنامه حرکت:

حرکت دایره ای یک حرکت شتاب است. از آنجا که ، در یک حرکت دایره ای ، سرعت فقط در جهت تغییر می کند ، گفته می شود حرکت تسریع می شود.

تفاوت بین حرکت خطی یکنواخت و یک حرکت دایره ای unifor:

حرکت خطی یکنواخت

حرکت دایره ای یکنواخت

1. جهت حرکت تغییر نمی کند

1. جهت حرکت به طور مداوم تغییر می کند.

2. حرکت بدون شتاب است.

2. حرکت تسریع می شود.

Radian - (واحد برای زاویه هواپیما):

تعریف:

زاویه ای در رادیان برابر با طول قوس است که زاویه تقسیم شده توسط شعاع دایره را تقسیم می کند.

یعنی

یعنی θ (در رادیان) = L/R

جایی که θ = زاویه در رادیان

l = طول قوس

r = شعاع دایره

∴ θ = l/l = 1 radian

بنابراین ، یک رادیان آن زاویه ای است که در مرکز یک دایره توسط یک قوس با طول برابر با شعاع دایره فرو می رود.

(1 radian = 57 ° 2616)

سرعت خطی و سرعت زاویه ای:

بگذارید یک بدن در یک مسیر دایره ای از شعاع "R" با سرعت خطی یکنواخت "V" حرکت کند وقتی بدن از نقطه A به نقطه B منتقل می شود و مسافت را در زمان "T" پوشش می دهد.

سپس سرعت خطی V توسط:

سرعت خطی = مسافت طی شده/زمان گرفته شده است

هنگامی که بدن در مسیر دایره ای از A به B در زمان t حرکت می کند. همچنین از طریق یک زاویه θ حرکت می کند ، که به عنوان جابجایی زاویه ای بدن شناخته می شود.

سرعت زاویهای:

به عنوان جابجایی زاویه ای در هر واحد زمان تعریف می شود

یعنی سرعت زاویه ای = جابجایی زاویه ای / زمان گرفته شده

یا (امگا)

جایی که ω = سرعت زاویه ای

θ = زاویه در رادیان ، که از طریق آن بدن حرکت می کند.

S. I. واحد سرعت زاویه ای Rad S1 است.

رابطه بین سرعت خطی و سرعت زاویه ای:

هنگامی که یک بدن با سرعت خطی یکنواخت در حال حرکت است - V "که مسافت را در زمان" T "در یک مسیر دایره ای از شعاع" R "قرار می دهد و یک زاویه θ را در مرکز قرار می دهد.

زاویه ای در رادیان ، θ = S/R… (i)

و سرعت خطی v = s/t

قرار دادن این در معادله (من)

ما می دانیم ، سرعت زاویه ای ،